Polinomial, Algoritma pembagian, Teorema Sisa, dan Teorema Faktor

POLINOMIAL

     Ø  Fungsi yang mempunyai jumlah suku banyak atau kalimat matematika yang mengandung penjumlahan dari variabel yang memiliki derajat satu atau lebih dan konstanta. Dimana operasi bilangan dengan bilangan bulat tidak negatif.

    Contoh polinomial :

             1.      6x

             2.      x² – 2x + 3

             3.      3x + 4 = 0

             4.      2x – 5 = 0

             5.      2x³ + 3x² – 5x – 2

   Operasi Polinomial :

            1.      f(x) + g(x)

            2.      f(x) – g(x)

            3.      f(x) . g(x)

   Contoh soal operasi polinomial :

            Dik : f(x) = 2x⁵ + 4x⁴ + 2x³ + 5x² – 5x + 3

                     g(x) = 4x³ – 5x² - 10

Dit  : a) f(x) + g(x)

         b) f(x) – g(x)

         c) f(x) . g(x)

Jawab :

a)      f(x) + g(x)

= (2x⁵ + 4x⁴ + 2x³ + 5x² – 5x + 3) + (4x³ – 5x² – 10)

= 2x⁵ + 4x⁴ + 2x³ + 5x² – 5x + 3 + 4x³ – 5x² – 10

= 2x⁵ + 4x⁴ + 2x³ + 4x³ + 5x² – 5x² – 5x + 3 – 10

= 2x⁵ + 4x⁴ + 6x³ – 5x – 7

b)      f(x) – g(x)

= (2x⁵ + 4x⁴ + 2x³ + 5x² – 5x + 3) - (4x³ – 5x² – 10)

= 2x⁵ + 4x⁴ + 2x³ + 5x² – 5x + 3 - 4x³ + 5x² + 10

= 2x⁵ + 4x⁴ + 2x³ - 4x³ + 5x²  + 5x² – 5x + 3 + 10

= 2x⁵ + 4x⁴ - 2x³ + 10 x² - 5x + 13

c)      f(x) . g(x)

= (2x⁵ + 4x⁴ + 2x³ + 5x² – 5x + 3) (4x³ – 5x² – 10)

= 8x⁸ – 10x⁷ – 20x⁵ + 16x⁷ – 20x⁶ – 40x⁴ + 8x⁶ – 10x⁵ – 20x³ + 20x⁵ – 25x⁴ – 50x²  – 20x⁴ + 25x³ – 50x + 12x³  – 15x² – 30

= 8x⁸ – 10x⁷ + 16x⁷ – 20x⁶ + 8x⁶ – 20x⁵ – 10x⁵ + 20x⁵ – 40x⁴ – 25x⁴ – 20x⁴ – 20x³ + 25x³ + 12x³ – 50x²  – 15x² – 50x – 30

= 8x⁸ + 6x⁷ – 12x⁶ – 10x⁵ – 85x⁴ + 22x³ – 65x² – 50x – 30

      Contoh Soal lain :

            Dik : f(x) = 20x⁵ + 8x – 6x² + 6

                       x   = 5

            Dit : s(x) ?

            Jawab : 

•         Cara Substitusi

                                 f(x) = 20x⁵ – 6x² + 8x + 6

                                 f(5) = 20(5)⁵ – 6(5)² + 8(5) + 6

                                        = 20(3.125) – 6(25) + 40 +6

                                        = 62.500 – 150 + 46

                                        = 62.396

         Jadi s(x) nya adalah 62.396

Keterangan : angka pertama diturunkan ke bawah, kemudian di kali 5, hasilnya 100. Jumlahkan dengan angka di atasnya, hasilnya kemudian kalikan 5 lagi dan seterusnya. Hasil akhirnya f(5) = 62.390.

ALGORITMA PEMBAGIAN  

     Ø  Bilangan sama dengan pembagi dikali hasil bagi dan ditambah dengan sisa. (bilangan = pembagi . hasil bagi + sisa)

f(x) = p(x) . h(x) + s(x)

   Contoh Soal :

          Dik : f(x) = x⁴ + 2x³ – 5x + 2

                      p(x) = x – 3

             Dit  : Tentukan persamaan (dengan metode bersusun & horner)

             Jawab :

• Cara Bersusun     

• Cara Horner

• Persamaan Algoritma

          f(x) = p(x) . h(x) + s(x)

         x⁴ + 2x³ – 5x + 2 = (x – 3) (x³ + 5x² + 15x + 40) + 122

                                       = x⁴ + 5x³ + 15x² + 40x – 3x³ – 15x² – 45x – 120 + 122

                                       = x⁴ + 5x³ – 3x³ + 15x² – 15x² + 40x – 45x – 120 + 122

                                       = x⁴ + 2x³ – 5x + 2  (TERBUKTI)

TEOREMA SISA

     Ø  Berdasarkan namanya, teorema sisa berfungsi untuk menemukan nilai sisa dari pembagian polinomial. Teorema sisa pada dasarnya bekerja berdasarkan rumus dasar polinomial, yaitu :

f(x) = p(x) . h(x) + s(x)

Teorema Sisa terbagi menjadi 3, yaitu :

1. Teorema Sisa Satu

          yaitu jika f(x) dibagi x-k , maka sisanya adalah f(k).

          Contoh soal : 

              f(x)=(x4+3x3-2x2+x-5)  : (x-2)

                   Tentukan sisa pembagiannya !                                                                                            

•  Cara Pembagian:

  

• Cara subtitusi :

• Cara Horner

     

        2.  Teorema Sisa Dua

             yaitu jika f(x) dibagi a(x)-b , maka sisanya adalah f(b/a)

             Contoh soal :

                     f(x) =x4+3x3-2x2+x+0 : 2x-1

                   Tentukan sisa pembaginya!

• Cara pembagian:

• Cara Subtitusi 

• Cara Horner

       3. Teorema Sisa Tiga

  

           yaitu jika f(x) dibagi (x – a) (x – b) , maka sisanya adalah p(x) + q.

           Dimana f(a) = p(a) + q dan f(b) = p(b) + q 

           Contoh soal :

                        Dik : sisa = p(x) + q

                                 f(a) = f(1) =

                                 f(b) = f(2)

                                 f(a) = a³ – 2a² + 3a – 1

                                 f(1) = 1³ – 2(1)² + 3(1) – 1

                                                      = 1 – 2 + 3 – 1

                                        = 1

                                 f(a) = p(a) + q

                                 f(1) = p(1) + q

                                 f(1) = p + q

                                    1  = p + q       atau       p + q = 1

                                 f(b) = b³ – 2b² + 3b – 1

                                 f(-2) = (-2)³ – 2(-2)² + 3(-2) – 1

                                         = – 8 – 8 – 6 – 1

                                         = – 23

                                  f(b) = p(b) + q

                                  f(-2) = p(-2) + q

                                  f(-2) = – 2p + q

                                  – 23 = – 2p + q       atau      – 2p + q = – 23

                      Dit : sisa pembagian ?

• Tahap pertama (eliminasi) 

• Tahap kedua (substitusi) 

               ⇒ Jadi dari tahap pertama dan kedua, kita mendapatkan sisa pembagi 8x – 7

• Tahap ketiga (pembuktian/cara bersusun)

TEOREMA FAKTOR

      Ø Untuk setiap algoritma f(x) = p(x) . h(x) + s(x) , ada sisa atau s(x) = 0 itu adalah faktor.

  Contoh Soal :                                      

   BUKTIKAN BAHWA SISA = 0

• Cara Bersusun

• Cara horner / memfaktorkan dengan horner

dan semua TERBUKTI !

    Semoga bermanfaat yaaa teman - teman dan mohon maaf jika masih banyak kekurangan ^_^